Rambler's Top100
Кафедра математики физический факультет МГУ

кафедра математики физический факультет МГУ физический факультет Московского государственного университета
Физический факультет МГУ

English version     

Главная
Новости
О кафедре
Обучение
Научная работа
Студенты,
Аспиранты
Сотрудники
Абитуриенту
АРХИВ




ГлавнаяОбучениеОбщие курсыИнтегральные уравнения и
вариационное исчисление

Интегральные уравнения и
вариационное исчисление


Теория линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра и основные понятия вариационного исчисления.

Читается в 4-ом семестре.
2 часа лекций в неделю, семинарские занятия

Лекторы: проф. Ягола А.Г., проф. Голубцов П.В., доц. Волков В.Т.

Отчетность: экзамен

Содержание курса

  1. Классификация линейных интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям.
  2. Линейные операторы в бесконечномерном евклидовом пространстве. Вполне непрерывный оператор. Теорема существования собственного значения и собственного вектора у симметричного вполне непрерывного оператора. Построение последовательности собственных значений и собственных векторов.
  3. Однородное уравнение Фредгольма второго рода. Существование собственных значений и собственных функций у интегрального оператора с симметричным ядром. Вырожденные ядра. Теорема Гильберта-Шмидта.
  4. Краевая задача на собственные значения и собственные функции (задача Штурма- Лиувилля). Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова.
  5. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода. Принцип сжимающих отображений. Уравнение Фредгольма с "малым". Уравнение Фредгольма с вырожденным и невырожденным ядром. Теоремы Фредгольма.
  6. Уравнение Вольтерра. Метод последовательных приближений.
  7. Понятие функционала. Первая вариация функционала. Необходимое условие экстремума.
  8. Вариационная задача с закрепленными границами. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
  9. Поле экстремалей, функция Вейерштрасса, достаточные условия экстремума.
  10. Задачи на условный экстремум. Изопериметрическая задача и задача Лагранжа (постановки задач, необходимое условие экстремума).
  11. Задача с подвижной границей, условие трансверсальности, необходимое условие экстремума.
  12. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах. Уравнение Фредгольма первого рода как пример некорректно поставленной задачи. Метод А.Н. Тихонова регуляризации решения уравнения Фредгольма первого рода.

Лекции проф. А.Г.Яголы и доц. В.Т.Волкова: [pdf]

    Предисловие

      Глава 1. Интегральные уравнения

      • Лекция 1(§1.Введение. §2.Метрические, нормированные и евклидовы пространства.)
      • Лекция 2(§3.Элементы теории линейных операторов.)
      • Лекция 3(§4.Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. §5.Построение последовательности собственных значений и собственных векторов вполне непрерывного самосопряженного оператора.)
      • Лекция 4(§6.Характеристические числа и собственные функции оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром.)
      • Лекция 5(§7.Теорема Гильберта-Шмидта. §8.Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим непрерывным ядром.)
      • Лекция 6(§9.Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. §10.Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с "малым". §11.Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.)
      • Лекция 7(§12.Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма. §13.Уравнение Фредгольма 2-го рода с произвольным непрерывным ядром. Теоремы Фредгольма.)
      • Лекция 8(§14.Задача Штурма-Лиувилля.)

      Глава 2. Вариационное исчисление

      • Лекция 9(§1.Введение. §2.Понятие вариации функционала. §3.Задача с закрепленными концами. Необходимое условие экстремума.)
      • Лекция 10(§4.Задачи на условный экстремум.)
      • Лекция 11(§5.Задачи с подвижной границей.)
      • Лекция 12(§6.Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами.)

      Глава 3. Понятие о методах регуляризации решения некорректно поставленных задач

      • Лекция 13-14(§1.Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода как пример некорректно поставленной задачи. §2.Метод регуляризации А.Н. Тихонова.)

      Литература

    Пособие по решению задач. проф. А.Г.Яголы и доц. В.Т. Волкова: [pdf]

    • Тема 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
    • Тема 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.
    • Тема 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.
    • Тема 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнений Фредгольма 2-го рода с "малым" .
    • Тема 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.
    • Тема 6. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода. Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма.
    • Тема 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.
    • Тема 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами.
    • Тема 9. Задачи с подвижной границей. Условие трансверсальности.
    • Тема 10. Условный экстремум. Задача Лагранжа. Изопериметрические задачи.
    • Литература
  • Правила проведения экзамена и вопросы к экзамену
  • Вопросы к экзамену для экспериментального потока (лектор П.В. Голубцов) //02.06.2009 289Кб


  • Курсы идущие в этом семестре
    Научные семинары
    Кафедра математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова
    Контакты, Old version (afrodita),
    E-mail для связи с кафедрой математики физического факультета МГУ